Narodil sa 16. novembra 1921 v Humennom. Bol to maliar, sochár, monumentalista, ilustrátor, reštaurátor, ikonopisec a filozof. Patrí medzi najvýznamnejších predstaviteľov slovenského výtvarného umenia. Študoval na Odbornej škole drevárskej v Humennom, kde si jeho talent všimol učiteľ kreslenia – akademický maliar Jozef Chovan. V rokoch 1943 – 1945 študoval na Slovenskej vysokej škole technickej v Bratislave, v oddelení kreslenia a maľovania u Jána Mudrocha. V roku 1948 ukončil Vysokú školu umeleckého priemyslu v Prahe u profesorov Františka Tichého a Jozefa Nováka. Od roku 1950 žil a tvoril v Bratislave. Výrazovo čerpal najmä z tradičnej byzantskej ikonografie. V tvorbe akcentoval počiatky slovenských národných dejín a obdobie Veľkej Moravy, vytvoril ikony viacerých osobností toho obdobia. Jeho inšpiráciou bol i slovanský dávnovek, dejiny kresťanstva, nesmrteľnosť, materstvo, rodina a spoločnosť.

Svojím rozsiahlym dielom zasiahol takmer do všetkých oblastí výtvarnej tvorby. Klimčákove gobelíny a obrazy zdobia priestory vrcholných inštitúcií Slovenskej republiky. Šesť metrov dlhý a takmer tri roky tkaný gobelín Byzantská misia na Veľkej Morave skrášľuje historické múry Bratislavského hradu. Nesmrteľný bájny vták Fénix zvečnený majstrom do artprotisu visí v NR SR. Je to jeho dar parlamentu pri príležitosti vzniku samostatnej Slovenskej republiky 1. januára 1993. Viaceré jeho diela zdobia aj Ústavný súd v Košiciach. Tapiséria Patróni Európy sv. Cyril a Metod je v bratislavskom Dóme sv. Martina. Spomenúť treba tiež farebnú vitráž v nemocnici v Revúcej (1957), gobelíny Jánošík (1960), Slovensko (1973), Nový život (1972), Práca (1972), návrh na mozaiku na pražskom Hrade, tempera (1965), nástenné maľby na základnej škole v Bratislave, v rekreačnom stredisku Tatranská Lomnica či v kúpeľoch Piešťany.

Podieľal sa na výzdobe mnohých gréckokatolíckych chrámov na Slovensku, a to tvorbou ikon, stenopisov, krížov a pod. Podľa jeho návrhu bol realizovaný aj sarkofág gréckokatolíckeho biskupa mučeníka Petra Pavla Gojdiča (1888 – 1960) v Katedrálnom chráme sv. Jána Krstiteľa v Prešove.

Zúčastnil sa na mnohých celoslovenských výstavách a súťažiach. 

Pracoval a tvoril v širokej škále monumentálnych techník, ako tkaná viazaná tapiséria, art-protis, textilná koláž-aplikácia, vitráž, guba štukolustrer, mozaika, betónový reliéf a drevené objekty. Je označovaný za majstra vitráže sakrálnej a svetskej architektúry. Bol tiež členom známkovej komisie a je aj autorom viacerých cenných poštových známok, napr. známky Vianoce. patria k doteraz najhodnotnejším slovenským známkam s vianočným motívom. Pri príležitosti 100. narodenín vydala Slovenská pošta v decembri 2021 známku s portrétom Mikuláša Klimčáka. 

V roku 1999 vydal vo vlastnom náklade reprezentačné bohato ilustrované dielo Proglas Konštantína Filozofa – básnického Predspevu staroslovenskeho prekladu evanjelia v slovenskom preklade básnika Viliama Turčányho, ktoré si zo Slovenska odniesli mnohí zahraniční štátnici ako dar prezidenta Slovenskej republiky.

Vo svojej tvorbe chcel vyjadriť svedectvo o dnešnom živote, o veľkej historickej minulosti národa,  o poézii dnešného žitia a nadovšetko svedectvo o dejinnej oprávnenosti svojho ľudu na svojbytný národný a sociálny život.

Zomrel 2. marca 2016 v Bratislave, pochovaný je na Ondrejskom cintoríne. 

Za svoju tvorbu získal M. Klimčák mnoho ocenení, napr. cenu Fra Angelica (2003) udelenú Radou pre vedu, vzdelanie a kultúru Konferencie biskupov Slovenska, rímsky pápež Benedikt XVI. ho v roku 2007menoval za rytiera Rádu sv. Silvestra, čo je na najvyššie cirkevné vyznamenanie pre laikov v katolíckej cirkvi, Zlatá medaila Matice slovenskej (2011). V roku 2011 mu prezident SR Ivan Gašparovič udelil štátne vyznamenanie – Medaila prezidenta Slovenskej republiky.

V Prievidzi máme dve sgrafitá od M. Klimčáka na Ul. Fraňa Madvu: Muž so ženou a píšťalkou a

Rodina (za smrekom).